Le journal de papageno

Écrire l'histoire des nombres premiers comme on écrirait une histoire de la musique: voilà en peu de mots le propos de Marcus du Sautoy pour son ouvrage la Symphonie des nombres premiers, paru en 2003 sous le titre the music of primes, qui a été récemment traduit en français aux éditions Héloïse d'Ormesson.

Ainsi donc, au lieu d'évoquer la vie et le travail de Bach, Mozart ou Franck, ce mathématicien et musicien amateur nous raconte l'histoire d'Euclide, Diophante, Gauss, Euler, Dirichlet, Riemann, Hadamard, Hilbert, Ramunajan, Weil, Grothendieck, Connes et tant d'autres. Par mille et une anecdotes savoureuses sur les grandes qualités et les petits défauts des mathématiciens, il nous fait ressentir une forme de proximité, d'empathie pour ces hommes et femmes qui par-delà les frontières en tout genre (culturelles, temporelles, politiques) ont chacun apporté leur pierre à ce magnifique édifice intellectuel qu'est la théorie des nombres. A titre d'exemple, voici les "axiomes" que Hardy et Littlewood s'étaient fixées pour leur collaboration:

1. Peu importait si ce qu'ils s'écrivaient l'un à l'autre était juste ou non
2. Rien ne les obligeait à se répondre, ni même à lire les lettres qu'ils s'envoyaient
3. Ils devaient s'efforcer de ne pas penser aux mêmes choses
4. Tous les articles porteraient toujours les deux signatures, même si l'au ou l'autre n'y avait en rien contribué.

Comme le remarque du Sautoy, il est tout à fait remarquable qu'une collaboration aussi fructueuse soit basée sur des règles en apparence aussi négatives !

Au cœur du livre se trouve l'hypothèse de Riemann, un des Problèmes du Millénaire dont celui qui apportera la preuve gagnera 1 million de dollars et surtout une gloire mondiale. C'est un résultat qui pourrait paraître un brin technique sur l'emplacement des zéros d'une certaine fonction zeta; lesquels zéros donnent la clé d'une formule concernant la répartition des nombres premiers (c'est à dire le nombre de nombre premiers plus petits que N). La plupart des mathématiciens partagent la croyance que cette hypothèse est vraie et même démontrable, mais les avis sont partagés sur le temps qu'il faudra attendre: certains considèrent qu'on en est tout près et d'autres que ce résultat restera un défi pour les mathématiciens pour un siècle au moins.

C'est bien là toute la beauté de cette symphonie des nombres premiers: elle est inachevé. Ses plus belles pages sont sans doute celles qui restent à écrire. La théorie des nombres, qu'on avait longtemps cru le domaine des mathématiques pures, celle qu'on pratique pour le seul plaisir intellectuel, a déjà trouvé des applications on ne peut plus concrète dans la cryptographie, et pourrait en trouver d'autres notamment avec la mécanique quantique.

Ce livre est accessible aux non-mathématiciens ? C'est un peu difficile à juger par l'auteur de ce blog qui a un bac+5 en maths et donc tendance à trouver élémentaire ce que d'autres trouveraient parfaitement abscons. Je note tout de même que Marcus du Sautoy a su avec un certain doigté éviter deux écueils dans ce livre: s'interdire d'écrire la moindre équation d'une part et vouloir tout expliquer d'autre part. Ainsi l'ouvrage reste  accessible pour une personne ayant un simple bac scientifique tout en pouvant être lu avec profit par un chercheur en maths.

Jusqu'à quel point l'analogie entre musique et mathématique fonctionne ? C'est naturellement la question qui m'a travaillé en lisant cette Symphonie des nombres premiers. D'une certaine manière, la musique est la mathématique du son, et cela n'a rien de surprenant que tant de chercheurs scientifiques soient mélomanes ou musiciens. Cependant, malgré les formidables progrès de l'éducation en général et l’engouement suscité par les ouvrages de vulgarisation (y compris d'ailleurs ceux qui sont signés par des imposteurs comme les Bogdanoff), les mathématiques restent accessibles à un petit nombre seulement, et les jouissances qu'elles procurent restent purement intellectuelles. Si elle peut également procurer des plaisirs intellectuels, la musique parle avant tout à nos sens: elle nous donne envie de pleurer ou de danser, nous fait littéralement vibrer. Le plaisir qu'on éprouve à jouer du violon par exemple est si intense que j'aurais du mal à le décrire avec des mots; en général il est aussi très communicatif, sauf si l'on joue vraiment trop faux (comme le disait Saint-Saëns, "tous les violonistes jouent faux mais il y en a qui exagèrent"). Composer l'Art de la Fugue ou la Sonate Hammerklavier n'est peut-être pas à la portée de tous, mais la belle musique parle d'elle-même et se passe de toute explication.

Cela étant posé, pour ceux d'entre vous qui ont la chance d'être encore en vacances, le livre de Marcus du Sautoy pourrait avantageusement remplacer le polar norvégien ou le roman historique du moment. Ce qui vous permettrait, chers lecteurs de ce blog de répondre à quiconque vous demanderait pourquoi vous regardez dans le vide entre deux pages: "à ton avis, le nombre de grain de sable sur cette plage est-il premier ?"

(Nous laissons en exercice au lecteur l'estimation de la probabilité pour qu'il le soit, avec des hypothèses raisonnables sur la taille de la plage et le nombre de grains de sable par mètre cube).